curve #724

y² + xy = x³ − 500155818938812672789174015511502418542914025471083342999327356190x + 135726649501359436415916160439700483690089900096812327554427167585750287637491352376425892437884100

a-invariants: [1, 0, 0, -500155818938812672789174015511502418542914025471083342999327356190, 135726649501359436415916160439700483690089900096812327554427167585750287637491352376425892437884100]
rank (lower bound): ≥ 31
torsion subgroup: trivial
conductor (N): 1004427164675932939050414607602715014451129595068206677192721095962075538480701840883548098104449961135194968056001662224180460040551299203930797608390804981160275419090
discriminant (Δ): 49297137879510928818281709974214552328702476375048117837571704655775013979171231596062083653573037845634811173375396781857624304646123449342715682006523465329761048684385163835603471402666240000000
Faltings height: 36.6035
naive height: 465.4469
primes of bad reduction: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 47, 2215469, 120445755169, 284713173972892919193100842833493037340253513664737461806642561921711761962772545134604299071715628443616733205737224200306156669143736663427
regulator: 47396504779861619586892195160792371798305.05255518622767957807556892550953049454512976121897950294096
submitted by: wgxli
submitted at: 2026-09-13 06:05:52 UTC
last updated: 2026-09-13 06:05:52 UTC

Witness: 31 independent points log in to add more points →

(-175168091909712984914985049975244485862218184197220/271194694797617761, -1943143601681747607708811842618040351218746916988056096393304886241390544910/141228317156673157916149009)
(921107494003153949572975193290587820/2809, 393287338287842566334603551999609775061215323555353770/148877)
(373398452551161154823544125027230, 1015305033368293887710450991503516808921610265260)
(437941634092629422214927504568252, 825637864323025269813779859221308476693774287026)
(6785763694485802055087276104677863380/19321, -4943217771311095709716930271175397001569732560648304010/2685619)
(455853265068379115817245008669180, -1567257931027448110179857333796988943288432782190)
(173358488594997397917056867195547100/361, 17196077010773942614550900491342572864918746811104710/6859)
(-378521663807065913488223276729412715746858380/16055544121969, -781341802445091625289971425819054194265371687322631204712256553400470/64333553797450098953)
(-307791432307846371772412768053860, 16140369571385690136918417062998734832666335032850)
(2926404124548252701220552882487119395848335909744076311580640696645786906167404124128172749696879964105075956039371993167330/6599373893091438921431744610845924278226289773914526172172840343327475598639370033797610521, 18060342143032126558863956626065496139977352613656794004705742253960399713925565146655548601355589196866239112295767486748581977234146090121464929070554579029427661776463082259057488190/16953294314402114010719137050001554100670878047783678295278573424149267045689630193712298512738218224204160050303757615679319959112467069)
(196368884078622256328744381252708176200008247961397980/789542872830932302681, 114671148189201384620850790189553994123931011932697396492930743241107069947129610/22185211649958858942768771955421)
(949605612565961870832028461991853477388567185155/2605845826920196, 181232273937028358135057742994502038839213471751390264535244762737151185/133021878367867128427256)
(388772207652167332016944488485050, 201215923565195491658097557715984393572915836240)
(292728147935991930902949138825306437524139170/287678831449, 4024730791848094210622609652344476546448495772619009003330759033880/154298554999491293)
(4255178909371484209299751391844092861630701110700/5250582173731801, -6166055004560905927969501768210295360476660139714405450441585019706335910/380461915083144832812701)
(11742794268162874623322086381060627022747455087484/27157986938208025, 2468798224453455969300522564060031152008002920742236976144543779901242442/4475549477648414945360125)
(467179788599740881310414341534880, 2007286173427589197911560468504832970797469558510)
(148112108755492163596079849269630570114389135161300417653852540/120003420519488879468321143369, 1554644605334543467336647609476132999863960626691036823351399806160166806916154828779446942170/41570996748381471777166435842318952715974597)
(9146669994140457701491816580208816996497592485459182228/5983669029340252631689, 25109897360163021724830077584343074899193249666177571052108539023144065964677848762/462861805968170134879145578345637)
(26624403733198377473806413796357326022688687468083420/58183928221824306729, -725818331336209727629820482790958096022717295756074571220622164524209600674170/443817638434598160004684912683)
(105219877793660101270337272791852130, -34130048448764058876665399630699453777897262135245240)
(31177804851268859471621493324833199565315212760253020/40807481137756369201, -3682702853369445724894415288500605089114891385402335445439392666835562140496290/260681182777536622023425262551)
(377741265000054132473147814670648089160557904028860/745134178326979401, -2270107401506719413901695405159860360853341914071187406766023039591455781030/643208428286474117228302149)
(9208212065530949102318748515534290630757487373385687296767100/21349535906053566922186699609, -1528749197062032062271053382715593980327575832047995167402142898619941070588545928816136970/3119483251342519944015829528835105472168227)
(1123301033261979635093148493446014028230314294812511728303097191820/2915306444757574189039061528438809, -73176064966602052443457636377673966599070686563314665269967313310031102193556968972097898356330230/157407825365904786846065607618416333463191572810877)
(3278453828245525843108836480658264877413643401849060850406639450120935272698490/12509088808307457010117761881913378962666698321, -6657755659764223948275661511030931977629047822932616071013857698482508452484847197247911223110174823357218363362465200/1399067002464957502751358681873878602931962693582475496596897743086631)
(4127343308880752331106539102221160967932720839010220/262470634219119193729, 48083707256759150246248578257364732050548234738208200965066416828523931201719170/4252272433247677991691252538817)
(5075005522082267148739068585556886421988407812586114540/10202514673835608583449, -3261394815953093363213041755457696646680640853052360210176320843493023862409634010/1030530481604089956421917819031043)
(96111474062543158765789306745178091931236479964/217854795609025, 3114959845901550401642670589424621105779701567165732952165907527106002/3215516086983626142625)
(4385585555284932058335086164566428401394978978993259072220/5066534803786211101137289, 213765490266346346429008235611490032490196706028761633956876362346002034599809953236870/11404245175691756614011988127749626587)
(5642369155110169877835643616240749938882694743489157842965020/15431165029625735927693454169, -2522944229813520663926190485926688687138398307674044581433078678854149117600648386312990230/1916893893181503932922671554142743121855197)

Commentary

Specialization at T = 42175/273473 of the rank-17 fibration of X1092 given by: y^2 + (Lx+B)y = x(x+D)(x+E), where B = pE + qD + pq(L-p-q), L = 354606T^2 + 863310T - 3221871, p = 104478T^2 - 1193542T - 2156, q = 583758T^2 + 343153T - 847873, D = 63(99674058T^4 + 3003528673T^3 - 4820064949T^2 - 42802584658T + 5083469776), E = 9(31933117566T^4 - 92902788345T^3 - 87405455017T^2 + 86315537850T - 17493644168).

last edited by wgxli at 2026-09-17 17:24:32 UTC · history