curve #717

y² + xy = x³ − 205269296046734743952998462082595338433243253496270141027830x + 28269786512731289389091770394686493207877622318679746750485509829389826679659225588338852

a-invariants: [1, 0, 0, -205269296046734743952998462082595338433243253496270141027830, 28269786512731289389091770394686493207877622318679746750485509829389826679659225588338852]
rank (lower bound): ≥ 30
torsion subgroup: trivial
conductor (N): 11345540062316986554125420166146014586432849368080969150017155967401987895594626469928864290884446603152656936247518464903338338954395246549920631793290
discriminant (Δ): 208297633259803959046765823641691004684823423218248494079867601777412859267412111857449637522253537998846171527774219449394178604934054544601697607148949462453928018464400179200000
Faltings height: 33.1218
naive height: 421.3286
primes of bad reduction: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 29, 83, 107, 1543, 1933, 18301, 2484180201370647066922035834636989978527712227938808893069175537064660664400202029641879281149425033172505804880225470176674997757
regulator: 53100096440250137454789303315977540422.211888539913163307667510551757565339162102756217173798712471
submitted by: 7fff-zip
submitted at: 2026-09-11 22:44:44 UTC
last updated: 2026-09-11 22:44:44 UTC

Witness: 30 independent points log in to add more points →

(50821979710241133264592444504966646821782686516/18390290975191249, -11309924064616824155969445785094285673409153155137694221918430601222026/2493922200110502256227943)
(172273107985707195963857433052578799106828693218892/484482024278430521641, 164861010361972860792288209994609832852188740054387599539947009009200564510/10663910760998199854472735760811)
(478313055629699225683845957191241940403309989831133804/3757060484849033953179241, 471967971193450703238370562072688424219385194364133749066653436523596560263986558/7282362279786542892250910339300475211)
(21967636272907162842316070378804/25, 90688982830167338609116922119998187670037655498/125)
(135836247031837586472849973773975629569302584/10726301832115321, -177994902978594124292304846901678264610119099866090173050283766664522/1110900137192564901298381)
(-145747242018928203954618690451792948077735759796/14039396154861804841, -9171846910547272582914028112433402566379979195175703860311801063479891742/52604469264489034295688907861)
(18151442941819166825933780039946141222343365757211102/116423583857231012169721, 298013304404541371271501357641832882342789672802257526999568843126632423152932/39724774995616745352128030498240269)
(480875990726422908102986316677804/841, 7628831149211453766288887944529961326710116844642/24389)
(-1662130107098898752651282924486029378301008564/10222911988245889, -247522277988665223713493508366530145391902585239927280874261658815366/1033622448261864443547713)
(-52430891395878902556127634276245046421774482700315388/194682755660442460127161, 21734185684651113943482526399606929081122737073934902780004084331542769280657062/85899616976790225935213444013480659)
(150485584670604841892635677644, -28064206181371392459853092663180309583556422)
(-49104980727513520572896873741899473868/117917881, -260958903702560225150584406268456934931716226107153843370/1280470269779)
(143466307830064836733597940212492, -1718393886724420484780225520994985347693923421382)
(10973836541841855254601771391244, 36322182123869713710393699210158505153258661178)
(363588293931002047488843222218, 41247474722742343862443485313498369784668286)
(-343276875690470337731162590023354961051548628/817553873224201, -4700472798809599176834139948305984089936401991661091934238118811170/23376235324158383548699)
(467831679485724671546659470577109529514457996/242446605065809, -9856509726400639462477900795586492462515071111375182219267347238806/3775062626158376998873)
(21786552841594582387931234245430279364787565877363982995076727017627464354681425552948219084/8385039321717536307401628333889628382510294871068287572974961, -100216311537051662820767883994158501079409018639700195851503270436346157860686974382892481518054418038493521210211280935582608709094896502/24280501654298381600324803432801504982986300141566375739020943819093691562377192263773852041)
(1425858082788541208102906062416364136883161324/9578466629468881, 29820694845735980332320803669633329995963506477129743263812916873898/937441090356599404141721)
(35158401704698448141063411507986382042513409329404833331058421312864033283460624871875676716/248426787721856830383214920054359718846755077944188740906723129, 177450990557798007218659664998548560570840620412710998212708053684867123415569643920521590251668935347132727697714717507299081094242209486/3915593831311767129466302612821106035912076662464829120405541150994419641867406568060427486867)
(3035903941116767429896236739162776614934430997521414101903778885088792999412333677528596603179541674471748443546436955992132914082493615678185180625623177791442937342284/5793915666333623499433530230993258899229542119232944323167520886744419144171171869507627105019955396820303954317182170873085403998287360801, 3543973076701543788461939459701780205833255082362832135641448854192929134237837349963942067889176001538372907338705431759818094191617450253287933943747055585857799000653969352281241729299902752331792689081889476094681042813296001956706783507940079632282/13946275952876232935979652452077244415146631588972616589119286870181105109291091553591380098090136263785232987410066001724822626260907073008871979337632145379310213928317783962888429257786989236605325048000049)
(356059450066662895120308825360816728601453059864603012/897149317984631236000609, 82019428377560847013717358922576734813499117562912946476053708715113224655727622/849761590556067869016009789724047727)
(20542519566756746452344077417964885537599489103218790637447610125969318244331334242193316751227963744204876867781634683150142975948948349164574/45849244183431988623788291503894494780326847538967458609339890234749686242983217432547070876376488292614493870961, -1590375365737627689415392249656223628145192711102070261269012758822419041725706133101165503093761746645726074162404645069590211566769856386890339595068092055035893496128363678183182771875414556295047468343581340188/9817440349693537170176705011480007253158626583159112810596038580460250863679853593436307631846799113012493955180203899008951186478960218213044627935139698647796072515209)
(7042647561553039208385812238029226521767479734138843714925367595716364803677800576130336805937325622478815375870831864310651749160276634334821493871929004940762950161413900243061311546718460435786/110317244500005306576535881622620052316010454437817453862888415748578876184546828408237998858715618311194519399909645662761456272163876647729333229960280044032878527025, -4550781200221010991289864812312544404645982321938792013950845183607549382602819024143020716948770082409347579277726492420586511775053958766142948509766714734492326611433219634486979907116866893172960344691493942154813470754749756322095188749724474609579327237265673711357455348928357008980428456/36640813580254870905389707725810631058674115935136883158795108341065073598642585420408771808840804456247070740103622962995165472172533373702333290290314821739570974876589720688951033529297813645509110376790297786523226025692673868887955961704984627625)
(284909844619349040343639862091438252599679713023376231084408726809484/802219569589663210926354635642664588361, 291284000856363585897693472821039015104991270125905769664317864262149376553853565197865031285511182498/22721650646923320616632657295566138301475284943932393235141)
(58298319179439158272366221274796162893803481766337956342890514/45318818191516302674865002811481, 419752194919344220901796762440528320860492147332754030765859816441622915227822257141274165888/305082898570284924763469593667556306211915286621)
(74984346368575848522471712596006702478291223540163853272885660195153746978182559040309059723879052911427596/485545252090993390801967062849843944119381285369101860720606949411095955418209, -5376767810019313517883603707697806105474186317283137386369608519580758753829140294371220754187939627992665259994650333519518924362326239651139072208357878121306/338333161990790222898026035364970605795657122181095103594572206297962707161800712933697134147004542914937929024931823)
(61324877951053212445940904159673736/5929, 15172025021966560683131334874365355360777875648564034/456533)
(771530164373504628148895151321448293183458756023153567636827738779/1127836058286012999217097990469082276, -546228780252537714893608477562055834422420235424979634792805628110118878463690045648003058610589537/1197757676871889504034753774529416023548998900911159976)
(-145170732853362866356718230062231178258547043969990897115786314267596531438355024662288635596112893716118560629598911366/602758379417067667386662077750017940479102948933487094301647145411996985934941767096481921, 118144019583014730969318814202594142949029576698608999898232769554436792001589677378547705465984116975322527281270384858525507058205578499042485053463495833326537121809014336262328/467966629516049220155600101789286446352559067284878206929489898724231150307428082529615593091573639848494372102862061194404291038516031)

Commentary

From the K3 family: y^2 - (Lx+B)y = x(x+D)(x+E), where B = pq(L+p+q) - pE - qD, L = 446667T^2 + 471466T + 239031, p = 318552T^2 + 368554T - 72570, q = 733413T^2 - 45082T - 14960, D = 5(7174492962T^4 - 7114589515T^3 - 22069002960T^2 + 3909144679T - 205134150), E = 882769396002T^4 + 811447034567T^3 - 1174040743T^2 - 32493137198T - 2386325360; apply the two-neighbor construction with v=[−1,0,−1,−1,0,0,0,1,0,1,−1,1,−1,1,0,2,0] in the class-1 section basis; the new fiber class is (3,2,−v). Set u=(76792784t−99752376)/(−5945455t−7719380), then specialize at t=−37787/89181, equivalently u=11797785573064/463761119695.

last edited by 7fff-zip at 2026-09-21 16:16:57 UTC · history