curve #3857

y² + xy + y = x³ + x² − 4362362153060584207614231549318410819022525030515538724235860x + 3512038234266144362533916241901734617982932157407905278925467439474016818118945979916226837

a-invariants: [1, 1, 1, -4362362153060584207614231549318410819022525030515538724235860, 3512038234266144362533916241901734617982932157407905278925467439474016818118945979916226837]
rank (lower bound): ≥ 31
torsion subgroup: trivial
conductor (N): 54462308923551457155781843140408560600732077159678754287075647745781210516407778182413635583908997889365974920003017452256012412453465389756836771820210
discriminant (Δ): -15401281401526352559604760408232423572659323956160690883877372745167814833285225964442506290394731936316138477291670731067239162356445565445573285114560587444538595775914741760000000
Faltings height: 33.6621
naive height: 430.5009
primes of bad reduction: 2, 3, 5, 11, 19, 23, 29, 43, 61, 83, 2910461, 37300350138796385626883495308804666092526553308376045520983729541930844894940769184092830706758424898709635420859034520168131396331
regulator: 425862741239327361807119525126788634868.8776735256289512500676926943690151586945361561337288551948059
submitted by: Ritik Jain
submitted at: 2026-10-04 00:07:52 UTC
last updated: 2026-10-04 00:07:52 UTC

Witness: 31 independent points log in to add more points →

(538801931207740104968739856402613429102422411205075718278972758499094957652253/626726960166887694944923482168377508786860284609, 312652510613376091692798683637228251886391765261202385443348727584904754542311281406344936780101222580605980806395393/496155221256363964457801547235237977579344790740043990984358346352074273)
(40218946608141394520229809662773183199397/423495241, -8063839464174506219692955008898448852850375767514308483066501/8715108564539)
(290010993001601255534849179433381/361, 4974465942211880196973377323734455367330022728971/6859)
(-117334890483592980128682564597235/49, 163559708932593837915270986488003357305467873943/343)
(8170374769421559248989578837793/9, 14787718155833874453297774796928838962852810027/27)
(1794946174368193453143835653245, -1210308879761174683909454735341825190291168319)
(8598106425507863072774362718792053/23409, 5013309839090982907180409893406737193572562319453257/3581577)
(1208030175727946055501672839117, -71387213671440427984276594497565107405932559)
(78579865660690237294747665002733/49, 274507522417673505252499234824424149437787674263/343)
(-2135304341754930056274999888792223/961, 44537010544922473112251262499119626111208259480051/29791)
(30026128485641371808693166001680173/27889, 1172209517678175410631023351081297827413894587824503/4657463)
(57814288277862414208362380167173/169, 3153078072733892093004025945734659221407301061077/2197)
(-61309279122196781282361019235052907/76729, 54135285034521599742856073047979752594928335044278253/21253933)
(117253097349468411505866405886931957/8281, 39735974921609966457689551432116949635200206337649891/753571)
(11552522584943852365942978514053/9, -4470487070905408665630845730601039515996253093/27)
(-2399606142177105308170065097283, -403477381645229775965272625923731829104413759)
(1061101653319311954355987369913305/729, 9766088657940479902848016593347243980130114122759/19683)
(-30381746520405243531209492303532391645218835898744334488010640194532780742268697801371855/37380563913900368405431334205189631117247195700202908461521, 18455106216543627074766963839074589065152032131853724717676433630519434125626159994789220740535758759231500678180964547405865329353463/7227178364902413578370594588687311756008619387181283396073257972471827437337617560499431)
(71814718491052140189877608229022459747474255706856701456190806680168099564591411090838827895686871500939/61681683895943375922542024143468969423871464341388615213628489377743313009, 51415538737372132396182098561256168495504310632601436752941539135829770668272369890567737030417172593468663094098239827844758426344974991638426721108276923/484433682675993811612251713483389053548902722300040510464548072902369024274446594331187078440163549702716033527)
(7826014248353123421621542046633292404615407630271396941987995234877/7000793948318735149420061145174895201, 3334669430218193116617702260992400547023669916169901887960211607889783104013967442102672933456973071/18523410151502533867324708525694887907332839518154701551)
(-50992301031546486612773113348405617809651817423630347773322954056010452115783/43538671985632754561445997750022750226680879881, 24061184117511569513755439125936644958812689942946750549032206740055283397418460581990808061071463855327383759708849/9084745534023408232331385294518193488151995193839039882283077649213029)
(440918683164563734970046944567170617231218762500531023991497993213747686796944672970582284660627164053/275808902897103512494615352302982750102111428275396249786124326913567609, 114397821072272508818968186110092280201679269574303077887633362997523358882716369771602962823857574264024675207876226096568989783271419289622839877407757/144847972686122993607514143354593950067017844295257641666858283823518284020723606833753385344990403799430477)
(-283197135833249490738609629011377673652760999134370086414759397549880430800272360718805195910259464639013882876194989479003337555904726765975335457795383/243250213947955411120329246373392929914346883704661213544349306396530479735453270268204367831726596006682471592319037569681, 10046745616867856338791305905184363181302329358068876181966375608582495417642713103213283077050902164280654107940697052632772608704249093613386756216048693964210358342782359377975740216335983207498383654103258308797837706395175401/3793847296138974224838416190973806200073379196287652882869765916424136997821272551174981453155454643195673868453090309992304950389435161788390002809518598490985903009062551685834500921)
(-28823941035338510924854064647510408034730451669706863018159305033076725982347/12429573419613629628694423496477436352363196449, 1490923001603515487426936618036430638233866299941981675732760844638541634943757143647236785365386576459416863396633/1385748241025692275061672950194423738063144776172977115700059783823793)
(-1174440325430870809675829418050719186867389554730124268397327106453623100135670966405923/497544225959163621873455551757903017246547101794966074881, 8996287889531841758805003301052992287829536304761262827736442226814651825739005693552492022735071972009960085092458245736492548961/11098071945082889334245333065532274134422371441907532038124512784423111569652645310721)
(4200144253275421187097612371520134296369184174762704582120529033815587326239716932403664179483031922677012623128800306537432513894044271753/22307624263416828370344888379744370149844593341100330581576754600532599480449443860027824902442420198854668129, 173040999200462175440730678351302699535104555971434689873869401302911963284092200174493248373251951767889879891685976725542353842743270157706250279842329074537248536797610680797032301787015122823866193978453823/105361023624313871665589431951415174172152190074475933413584251200908797558236085768998007521193793857810207719300962124683568298139445552131923762779778510895254383)
(94139168836752492095861815787597805320527395444554061865654860226290232482421/77786612869223572768444800454104308873075012025, 1556582334662966731704579723973268457672588994157882753682656235809820917856494213805061534193214834455082326435309/21694881961985839980909333931447774886437603817395380556335727230766125)
(2178452764453330154974403356879963111871712046238029265453425326394953028321844396743255609897858335886196644577/16629276977403063867417297549870949176366506991045522748725231429102383855518524481, 3678674277345072462613957011108613598245484746690828828562663788074063046073111227537410103225214959378114857779065619973455764090447677237446269783246604671044952222161/2144420994678070720228487876483380932822377951310943036330458744410574312313918301879087406568269484787614081339355298561121)
(-339502167542577418271015818586286188714902648091376073493832795456434490617649752190490206483421910897347166396916041689041901003/9852119323301618781624919732814512235814898000359727807072108591485432337430298172669468903836946801, 1871426805612950088147824129620024629457653817374481817410406545080307014146101598857098798571455162460591203538255880717312552667319479304625531311862844948607256609268608948567550845528355468471/977900109351339406807792428742294995083139658776753489406232788456454055025329757888097095957951915316786619559800373695203144761569529783383332728951)
(9142801206622973901030474488504626289330730779433308617280235975510029757/5915503334834058351078577619753149316301601, 9776438973635582307328854580535736393156952546723203605028471715257025297925440221261410726895140067339277231/14387573500699139921982185531090927278105559403073118451766131151)
(29567376918065271951352319229512192968160432549399911770952256097790423469661944332554727685213438765/31505692611955888178138816697446210479461436249707215103639401413185841, 2765825029557941152044138197558318853526641992082515416767687529705699061485869927994829089383052989923787124602804363378782291566923990770209952861673/5592210971089626384726190331276944066624773699262444921781380513800052209194638252808154781174803286584361)

Commentary

Specialization at T = 252412/56053 of the rank-17 fibration of X1152 given by: y^2 + (Lx+B)y = x(x+D)(x+E), where B = pE + qD + pq(L-p-q), L = 38419T^2 + 593484T + 658805, p = 23(2890T^2 + 4251T - 6514), q = 11819T^2 + 257358T + 594567, D = 23(28084890T^4 - 419528527T^3 + 365561463T^2 + 3271369342T - 2401770888), E = 92(3325485T^4 + 92878994T^3 - 477214799T^2 - 1954565472T - 752234472).

last edited by wgxli at 2026-10-04 17:41:30 UTC · history